Bạn đang xem: Tìm hệ số trong khai triển. 80.. -10.. 10. Chọn B. Mới nhất. Tay cầm ps3 chơi fifa online 3 Admin - 25/09/2022. Màu Ghế Massage Cho Người Tuổi Thìn Mang Lại Nhiều Sức Khỏe Admin - 23/09/2022. Phân tích tác phẩm chữ người tử t (Xây dựng) - Theo sát kế hoạch hành động của Chính phủ về chiến lược chuyển đổi số lấy người dân và doanh nghiệp làm trung tâm, Tập đoàn Công nghiệp - Viễn thông Quân đội (Viettel) duy trì các hoạt động sản xuất kinh doanh theo định hướng phát triển nền kinh tế Tìm Phần Tử Lớn Nhất Trong Mảng C++; Function Trong C++; Math Trong C++; tính giai thừa trong c (1) Khai báo hai số nguyên a và thực tế. Techacademy.edu.vn là Hệ thống đào tạo lập trình viên hàng đầu tại Việt Nam. Với chương trình đào tạo chú trọng thực hành cùng với đội GS.TSKH.Lâm Quang Thiệp TÓM TẮT : Bài viết khảo sát ba nhóm mô hình quan trọng và có nhiều vấn đề trong mạng lưới cơ sở giáo dục đại học và giáo dục nghề nghiệp nước ta: các đại học đa lĩnh vực, các cao đẳng/đại học cộng đồng và các đại học mở. Trong phần 1, ở mỗi nhóm mô hình, bài viết trình Tìm cơ hội từ thị trường có dân số lớn nhất Đông Nam Á. (KTSG Online) - Với nền kinh tế đang phát triển, Indonesia có tỷ lệ dân số trẻ lớn, tầng lớp trung lưu ngày càng tăng sẽ mang lại nhiều tiềm năng về chi tiêu cho các mặt hàng tiêu dùng. Đây là cơ hội để doanh Với bài toán này, tham số nào có giá trị lớn sẽ được sử dụng, trong dãy số liệu trên ta thấy điểm 10 xuất hiện 3 lần và là điểm số xuất hiện GeB42. Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton, các dạng toán được đề cập trong bài viết gồm xác định hệ số trong khai triển nhị thức Newton 2 số hạng, 3 số hạng, xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn … trong mỗi dạng toán, đều có hướng dẫn cụ thể phương pháp, các ví dụ minh họa với lời giải chi tiết, phần cuối bài viết là tuyển tập các bài toán hay và khó để bạn đọc nắm chắc kỹ thuật giải dạng toán Phương pháp xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton. 1. Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ trong khai triển ${\left {a{x^p} + b{x^q}} \right^n}.$ Phương pháp Cho khai triển ${\left {a{x^p} + b{x^q}} \right^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left {a{x^p}} \right^{n – k}}{\left {b{x^q}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}{x^{np – pk + qk}}.$ Số hạng chứa ${x^m}$ ứng với giá trị $k$ thỏa $np – pk + qk = m.$ Từ đó tìm $k = \frac{{m – np}}{{p – q}}.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ là $C_n^k{a^{n – k}}{b^k}$ với giá trị $k$ đã tìm được ở trên. Nếu $k$ không nguyên hoặc $k > n$ thì trong khai triển không chứa $x^m$, hệ số phải tìm bằng $0.$ Lưu ý Tìm số hạng không chứa $x$ thì ta đi tìm giá trị $k$ thỏa $np – pk + qk = 0.$Bài toán 1 Trong khai triển $\left {2\sqrt[3]{x} – \frac{3}{{\sqrt x }}} \right$, $x > 0$ số hạng không chứa $x$ sau khi khai triển là? A. $4354560.$ B. $13440.$ C. $60466176.$ D. $20736.$Chọn A. ${\left {2\sqrt[3]{x} – \frac{3}{{\sqrt x }}} \right^{10}}$ $ = {\left {2{x^{\frac{1}{3}}} – 3{x^{ – \frac{1}{2}}}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {2{x^{\frac{1}{3}}}} \right^{10 – k}}{\left { – 3{x^{ – \frac{1}{2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{ – 3^k}{x^{\frac{{10 – k}}{3}}}{x^{\frac{k}{2}}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{ – 3^k}{x^{\frac{{20 – 5k}}{6}}}.$ Theo yêu cầu đề bài ta có $20 – 5k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^4{.2^6}{.3^4} = = 435460.$Bài toán 2 Cho $n$ là số dương thỏa mãn $5C_n^{n – 1} = C_n^3.$ Số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển nhị thức Newton $P = {\left {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right^n}$ với $x \ne 0$ là? A. $ – \frac{{35}}{{16}}.$ B. $ – \frac{{16}}{{35}}.$ C. $ – \frac{{35}}{{16}}{x^5}.$ D. $ – \frac{{16}}{{35}}{x^5}.$Chọn C. Điều kiện $n \in N$, $n \ge 3.$ Ta có $5C_n^{n – 1} = C_n^3$ $ \Leftrightarrow \frac{{ – 1!}} = \frac{{n!}}{{3!.n – 3!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{5}{{n – 3!n – 2n – 1}} = \frac{1}{{6n – 3!}}$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 7\{\rm{thỏa\mãn}}}\\ {n = – 4\{\rm{loại}}} \end{array}} \right.$ Với $n = 7$ ta có $P = {\left {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right^7}.$ $P = {\left {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left {\frac{{{x^2}}}{2}} \right^{7 – k}}{\left { – \frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} \frac{1}{{{2^k}}} \cdot { – 1^{7 – k}}{x^{14 – 3k}}.$ Số hạng chứa ${x^5}$ tương ứng với $14 – 3k = 5$ $ \Leftrightarrow k = 3.$ Vậy số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển là $C_7^4 \cdot \frac{1}{{{2^4}}} \cdot { – 1^3} = – \frac{{35}}{{16}}.$2. Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn. Phương pháp Giả sử sau khi khai triển ta được đa thức $Px = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n}.$ Xét các khả năng sau a. Nếu ${a_k} > 0$ $\forall k$ trường hợp ${a_k} {a_{k + 1}}$ có nghiệm $k > {k_0}.$ • Nếu ${a_k} = {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k = {k_0}$ thì ta có ${a_0} {a_{{k_0} + 2}} > \ldots > {a_n}.$ Khi đó ta tìm được hai hệ số lớn nhất là ${a_{{k_0}}} = {a_{{k_0} + 1}}.$ • Nếu phương trình ${a_k} = {a_{k + 1}}$ vô nghiệm thì ta có ${a_0} {a_{{k_0} + 1}} > {a_{{k_0} + 2}} > \ldots > {a_n}.$ Khi đó ta có ${a_{{k_0}}}$ là hệ số lớn nhất trong khai triển của nhị thức. b. Nếu ${a_{2k}} > 0$ $\forall k$ và ${a_{2k + 1}} 0$ $\forall k$ tương tự thì khi đó bài toán trở thành tìm số lớn nhất trong các số ${a_{2k}}$. Ta cũng xét bất phương trình ${a_{2k}} \le {a_{2k + 2}}$ rồi làm tương tự như phần toán 1 Tìm hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển đa thức $Px = {2x + 1^{13}}$ $ = {a_0}{x^{13}} + {a_1}{x^{12}} + \ldots + {a_{13}}.$ A. $8.$ B. $4536.$ C. $4528.$ D. $4520.$Chọn A. Ta có hệ số tổng quát sau khi khai triển nhị thức ${2x + 1^{13}}$ là ${a_n} = C_{13}^n{.2^{13 – n}}.$ Suy ra ${a_{n – 1}} = C_{13}^{n – 1}{.2^{14 – n}}$, $n = 1,2,3, \ldots ,13.$ Xét bất phương trình với ẩn số $n$ ta có ${a_{n – 1}} \le {a_n}$ $ \Leftrightarrow C_{13}^{n – 1}{.2^{14 – n}} \le C_n^{13}{.2^{13 – n}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{ – 1!14 – n!}} \le \frac{{13!}}{{n!13 – n!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{14 – n}} \le \frac{1}{n}$ $ \Leftrightarrow n \le \frac{{14}}{3} \notin N.$ Do đó bất đẳng thức ${a_{n – 1}} \le {a_n}$ đúng với $n \in \{ 1,2,3,4\} $ và dấu đẳng thức không xảy ra. Nên bất đẳng thức ${a_{n – 1}} > {a_n}$ đúng với $n \in \{ 5,6,7,8,9,10,11,12,13\} .$ Ta được ${a_0} {a_5} > {a_6} > \ldots > {a_{13}}.$ Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là ${a_4} = C_{13}^4{.2^9} = 366080.$Bài toán 2 Trong khai triển biểu thức $F = {\left {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right^9}$ số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là? A. $8.$ B. $4536.$ C. $4528.$ D. $4520.$Chọn B. Ta có số hạng tổng quát ${T_{k + 1}} = C_9^k{\sqrt 3 ^{9 – k}}{\sqrt[3]{2}^k}.$ Ta thấy hai bậc của căn thức là $2$ và $3$ là hai số nguyên tố, do đó để ${T_{k + 1}}$ là một số nguyên thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {0 \le k \le 9}\\ {9 – k \vdots 2}\\ {k \vdots 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 3 \Rightarrow {T_4} = C_9^3{{\sqrt 3 }^6}{{\sqrt[3]{2}}^3} = 4536}\\ {k = 9 \Rightarrow {T_{10}} = C_9^9{{\sqrt 3 }^0}{{\sqrt[3]{2}}^9} = 8} \end{array}} \right.$ Vậy trong khai triển có hai số hạng nguyên là ${T_4} = 4536$ và ${T_{10}} = 8.$3. Xác định hệ số của số hạng trong khai triển $Px = {\left {a{x^t} + b{x^p} + c{x^q}} \right^n}.$ Phương pháp Xác định hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ trong khai triển $Px = {\left {a{x^t} + b{x^p} + c{x^q}} \right^n}.$ Ta làm như sau $Px = {\left {a{x^t} + b{x^p} + c{x^q}} \right^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left {a{x^t}} \right^{n – k}}{\left {b{x^p} + c{x^q}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{i = 0}^k {C_n^k} } {a^{n – k}}{x^{tn – k}}C_k^i{b^{k – i}}{c^i}{x^{pk – i + qi}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{i = 0}^k {C_n^k} } C_k^i{a^{n – k}}{b^{k – i}}{c^i}{x^{tn – k + pk – i + qi}}$ do ${\left {b{x^p} + c{x^q}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {\left {b{x^p}} \right^{k – i}}{\left {c{x^q}} \right^i}$ $ = \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {b^{k – i}}{c^i}{x^{pk – i + qi}}$. Suy ra số hạng tổng quát của khai triển là $C_n^kC_i^k{a^{n – k}}{b^{k – i}}{c^i}{x^{tn – k + pk – i + qi}}.$ Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của ${x^m}.$Bài toán 1 Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển $Px = {\left {3{x^2} + x + 1} \right^{10}}$ là A. $1695.$ B. $1485.$ C. $405.$ D. $360.$Chọn A. Ta có số hạng tổng quát của khai triển là $C_{10}^kC_k^i{3^{10 – k}}{1^{k – i}}{1^i}{x^{210 – k + 1k – i + 0i}}$ $ = C_{10}^kC_k^i{3^{10 – k}}{x^{20 – k – i}}.$ Số hạng chứa ${x^4}$ tương ứng với $20 – k – i = 4$ $ \Rightarrow k = 16 – i.$ Với $0 \le k \le 10$, $0 \le i \le k$ nên ta có $i;k \in \{ 6;10;7;9;8;8\} .$ Vậy hệ số của ${x^4}$ trong khai triển $Px = {\left {3{x^2} + x + 1} \right^{10}}$ là $C_{10}^{10}C_{10}^6{3^0} + C_{10}^9C_9^73 + C_{10}^8C_8^8{3^2} = 1695.$ Nhận xét Chú ý khi ra nhiều trường hợp của $i, k$ thì ta cộng hệ số các trường hợp với nhau để có kết toán 2 Tìm số hạng chứa ${x^{13}}$ trong khai triển thành các đa thức của ${\left {x + {x^2} + {x^3}} \right^{10}}$ là A. $135.$ B. $45.$ C. $135x^{13}.$ D. $45x^{13}.$Chọn C. Ta có số hạng tổng quát của khai triển là $C_{10}^kC_k^i{1^{10 – k}}{1^{k – i}}{1^i}{x^{10 – k + 2k – i + 3i}}$ $ = C_{10}^kC_k^i{x^{10 + k + i}}.$ Số hạng chứa ${x^{13}}$ tương ứng với $10 + k + i = 13$ $ \Rightarrow k = 3 – i.$ Với $0 \le k \le 10$, $0 \le i \le k$ nên ta có $i;k \in \{ 0;3;1;2\} .$ Vậy hệ số của ${x^{13}}$ trong khai triển $Px = {\left {x + {x^2} + {x^3}} \right^{10}}$ là $C_{10}^3C_3^0 + C_{10}^2C_2^1 = 210.$B. Bài tập rèn luyện. Bài toán 1. Trong khai triển ${\left {8{a^2} – \frac{1}{2}b} \right^6}$, hệ số của số hạng chứa ${a^9}{b^3}$ là A. $ – 80{a^9}{b^3}.$ B. $ – 64{a^9}{b^3}.$ C. $ – 1280{a^9}{b^3}.$ D. $60{a^6}{b^4}.$Chọn C. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${T_{k + 1}} = { – 1^k}C_6^k{8^{6 – k}}{a^{12 – 2k}}{2^{ – k}}{b^k}.$ Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k = 3.$ Khi đó hệ số của số hạng chứa ${a^9}{b^3}$ là $ – 1280{a^9}{b^3}.$Bài toán 2 Hệ số của ${x^3}{y^3}$ trong khai triển ${1 + x^6}{1 + y^6}$ là A. $20.$ B. $800.$ C. $36.$ D. $400.$Chọn D. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${T_{k + 1}} = C_6^k{x^k}.C_6^m{y^m}.$ Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k = m = 3.$ Khi đó hệ số của số hạng chứa ${x^3}{y^3}$ là $C_6^3C_6^3 = 400.$Bài toán 3 Xác định hệ số của ${x^8}$ trong các khai triển sau $fx = 8{1 + 8x^8}$ $ – 9{1 + 9x^9} + 10{1 + 10x^{10}}.$ A. $ – C_9^1{.9^8} + B. $C_8^0{.8^8} – C_{9.}^1{.9^8} + C_{10}^8{.10^8}.$ C. $C_8^0{.8^8} – + D. $ – + D. Ta có ${1 + 8x^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} {8^{8 – k}}{x^{8 – k}}.$ ${1 + 9x^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {9^{9 – k}}{x^{9 – k}}.$ ${1 + 10x^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {10^{10 – k}}{x^{10 – k}}.$ Nên hệ số chứa ${x^8}$ là $ – + toán 4 Tìm hệ số của ${x^7}$ trong khai triển thành đa thức của ${2 – 3x^{2n}}$, biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024.$ A. $2099529.$ B. $-2099520.$ C. $-2099529.$ D. $2099520.$Chọn B. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^k} = {2^{2n + 1}}}\\ {\sum\limits_{i = 0}^n {C_{2n + 1}^{2i + 1}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_{2n + 1}^{2i}} } \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \sum\limits_{i = 0}^n {C_{2n + 1}^{2i + 1}} = {2^{2n}} = 1024$ $ \Rightarrow n = 5.$ Suy ra ${2 – 3x^{2n}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{ – 3^k}{x^k}.$ Hệ số của ${x^7}$ là $C_{10}^7{.2^3}.{ – 3^7} = – 2099520.$Bài toán 5 Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển đa thức của $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}.$ A. $3320.$ B. $2130.$ C. $3210.$ D. $1313.$Chọn A. Đặt $fx = x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}.$ Ta có $fx = x\sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2^k}{x^k} + {x^2}\sum\limits_{i = 0}^{10} {C_{10}^i} {3x^i}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2^k}{x^{k + 1}} + \sum\limits_{i = 0}^{10} {C_{10}^i} {3^i}{x^{i + 2}}.$ Vậy hệ số của ${x^5}$ trong khai triển đa thức của $fx$ ứng với $k = 4$ và $i = 3$ là $C_5^4{ – 2^4} + C_{10}^3{3^3} = 3320.$Bài toán 6 Với $n$ là số nguyên dương, gọi ${a_{3n – 3}}$ là hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$. Tìm $n$ để ${a_{3n – 3}} = 26n.$ A. $n=3.$ B. $n=4.$ C. $n=5.$ D. $n=2.$Chọn C. Cách 1 Ta có ${\left {{x^2} + 1} \right^n}$ $ = C_n^0{x^{2n}} + C_n^1{x^{2n – 2}} + C_n^2{x^{2n – 4}} + \ldots + C_n^n.$ ${x + 2^n}$ $ = C_n^0{x^n} + 2C_n^1{x^{n – 1}} + {2^2}C_n^2{x^{n – 2}} + \ldots + {2^n}C_n^n.$ Dễ dàng kiểm tra $n = 1$, $n = 2$ không thoả mãn điều kiện bài toán. Với $n ≥ 3$ thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích ${x^{3n – 3}}$ $ = {x^{2n}}{x^{n – 3}}$ $ = {x^{2n – 2}}{x^{n – 1}}.$ Do đó hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$ là ${a_{3n – 3}} = {2^3}C_n^0C_n^3 + 2C_n^1C_n^1.$ Suy ra ${a_{3n – 3}} = 26n$ $ \Leftrightarrow \frac{{2n\left {2{n^2} – 3n + 4} \right}}{3} = 26n$ $ \Leftrightarrow n = – \frac{7}{2}$ hoặc $n = 5.$ Vậy $n = 5$ là giá trị cần tìm. Cách 2 Ta có ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$ $ = {x^{3n}}{\left {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^n}{\left {1 + \frac{2}{x}} \right^n}$ $ = {x^{3n}}\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i} {\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^i}\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left {\frac{2}{x}} \right^k}$ $ = {x^{3n}}\left[ {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i} {x^{ – 2i}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {2^k}{x^{ – k}}} \right].$ Trong khai triển trên, luỹ thừa của $x$ là $3n – 3$ khi $ – 2i – k = – 3$ $ \Leftrightarrow 2i + k = 3.$ Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là $i = 0$, $k = 3$ hoặc $i = 1$, $k = 1$ vì $i,k$ nguyên. Hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$ là ${a_{3n – 3}} = C_n^0C_n^3{2^3} + C_n^1C_n^12.$ Do đó ${a_{3n – 3}} = 26n$ $ \Leftrightarrow \frac{{2n\left {2{n^2} – 3n + 4} \right}}{3} = 26n$ $ \Leftrightarrow n = – \frac{7}{2}$ hoặc $n = 5.$ Vậy $n = 5$ là giá trị cần toán 7 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^{26}}$ trong khai triển nhị thức Newton của ${\left {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right^n}$, biết $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{20}} – 1.$ A. $210.$ B. $213.$ C. $414.$ D. $213.$Chọn A. Do $C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 – k}$, $\forall k = 0,1,2, \ldots ,2n + 1.$ $ \Rightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}.$ Mặc khác $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}.$ $ \Rightarrow 2\left {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n} \right = {2^{2n + 1}}.$ $ \Rightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{2n}} – C_{2n + 1}^0$ $ = {2^{2n}} – 1.$ $ \Rightarrow {2^{2n}} – 1 = {2^{20}} – 1$ $ \Rightarrow n = 10.$ Khi đó ${\left {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right^{10}}$ $ = {\left {{x^{ – 4}} + {x^7}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {{x^{ – 4}}} \right^{10 – k}}{x^{7k}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11k – 40}}.$ Hệ số chứa ${x^{26}}$ ứng với giá trị $k$ thỏa mãn $11k – 40 = 26$ $ \Rightarrow k = 6.$ Vậy hệ số chứa ${x^{26}}$ là $C_{10}^6 = 210.$Bài toán 8 Trong khai triển của ${\left {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right^{10}}$ thành đa thức ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}$, hãy tìm hệ số ${a_k}$ lớn nhất $0 \le k \le 10.$ A. ${a_{10}} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$ B. ${a_5} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$ C. ${a_4} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$ D. ${a_9} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$Chọn A. Ta có ${\left {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left {\frac{1}{3}} \right^{15 – k}}{\left {\frac{2}{3}x} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} \frac{{{2^k}}}{{{3^{15}}}}{x^k}.$ Hệ số của ${x^k}$ trong khai triển ${a_k} = \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{2^k}.$ Ta có ${a_{k – 1}} \frac{{32}}{3}$ $ \Rightarrow {a_{10}} > {a_{11}} > \ldots > {a_{15}}.$ Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là ${a_{10}} = \frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}C_{15}^{10} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$Bài toán 9 Cho khai triển ${1 + 2x^n}$ $ = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}$, trong đó $n \in {N^*}$. Tìm số lớn nhất trong các số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}$ biết các hệ số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}$ thỏa mãn hệ thức ${a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.$ A. $324512.$ B. $126720.$ C. $130272.$ D. $130127.$Chọn B. Đặt $fx = {1 + 2x^n}$ $ = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}.$ $ \Rightarrow {a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}}$ $ = f\left {\frac{1}{2}} \right = {2^n}$ $ \Rightarrow {2^n} = 4096$ $ \Leftrightarrow n = 12.$ Với mọi $k \in \{ 0,1,2, \ldots ,11\} $ ta có ${a_k} = {2^k}C_{12}^k$, ${a_{k + 1}} = {2^{k + 1}}C_{12}^{k + 1}.$ $ \Leftrightarrow \frac{{{a_k}}}{{{a_{k + 1}}}} 1$ $ \Leftrightarrow k > 7$ $ \Rightarrow {a_8} > {a_9} > \ldots > {a_{12}}.$ Số lớn nhất trong các số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_{12}}$ là ${a_8} = {2^8}C_{12}^8 = 126720.$ Đáp án và lời giải Đáp ánB Lời giảiKhai triển nhị thức Niu-tơn của , ta có . Suy ra . Giả sử là hệ số lớn nhất, khi đó Vậy hệ số lớn nhất là . Chọn B. Đáp án đúng là B Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử? Bài tập trắc nghiệm 60 phút Bài toán về tổ hợp - TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT - Toán Học 11 - Đề số 18 Làm bài Một số câu hỏi khác cùng bài thi. Trong một bình đựng viên bi đỏ và viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời viên. Có bao nhiêu cách lấy? Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ con. Số cách lấy là Trong khai triển , hệ số của số hạng thứ 4 bằng Cho khai triển . Tìm tất cả các giá trị của để Trong khai triển , số hạng tổng quát của khai triển? Trong khai triển số hạng không chứa sau khi khai triển là Hệ số của trong khai triển thành đa thức là Tìm số hạng không chứa trong khai triển với , biết là số nguyên dương thỏa mãn . Một lớp có học sinh . Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra một học sinh làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn và nhỏ hơn . Gọi là số cách chọn, lúc này Hệ số của số hạng chứa trong khai triển của biểu thức với bằng Cho đa giác đều có cạnh . Tìm để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh ? Tính tổng Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng ? Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức ? Tổng bằng Cho tập và các số . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có dạng sao cho và ? Một trường THPT có lớp , mỗi lớp cử học sinh tham gia vẽ tranh cổ động. Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau các học sinh cùng lớp không bắt tay với nhau. Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng lần. Cho tập hợp có phần tử. Số tập con gồm phần tử của là Với n là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm n để . Hệ số của số hạng chứa trong khai triển là Với n là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm n để . Tìm số hạng không chứa trong khai triển và là số nguyên dương, biết rằng tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba trong khai triển bằng . Cho số tự nhiên thỏa mãn . Hỏi gần với giá trị nào nhất Cho số nguyên dương thỏa mãn . Tính tổng . Khai triển đa thức . Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển trên. Cho là hệ số của sau khi khai triển thành đa thức của . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thoả mãn . Cho tập gồm phần tử. Có bao nhiêu tập con của khác rỗng và số phần tử là số chẵn? Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ các bông hoa xem như đôi một khác nhau, người ta muốn chọn một bó hồng gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ? Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ và nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác gồm người cần có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý thì có bao nhiêu cách. Trong hộp có quả cầu đỏ và quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngãu nhiên quả cầu từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh. Số hạng không chứa trong khai triển của là Từ các chữ số , , , , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau trong đó hai chữ số và không đứng cạnh nhau. Trong một trường có 4 học sinh giỏi lớp 12, 3 học sinh giỏi lớp 11 và 5 học sinh giỏi lớp 10. Cần chọn 5 học sinh giỏi để tham gia một cuộc thi với các trường khác sao cho khối 12 có 3 em và mỗi khối 10, 11 có đúng 1 em. Vậy số tất cả các cách chọn là Cho một đa giác đều đỉnh . Tìm biết số hình chữ nhật được tạo ra từ bốn đỉnh trong số đỉnh của đa giác đó là . Có bao nhiêu cách chia hết đồ vật khác nhau cho người, biết rằng mỗi người nhận được ít nhất đồ vật. Từ tập lập các số tự nhiên gồm chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó? Cho khai triển . Tính tổng Lớp B có học sinh. Tiết sinh hoạt giáo viên muốn cho học sinh chơi hái hoa dân chủ. Quy tắc chơi như sau Mỗi học sinh phải bốc phiếu gồm câu hỏi từ câu hỏi cho trước và trả lời. Hỏi cô giáo phải chọn tối đa bao nhiêu bạn chơi để không có hai bạn nào bốc phải cùng hai câu hỏi giống hệt nhau? Cho đa giác có đỉnh Biết số các tam giác có đỉnh là đỉnh của và không có cạnh nào là cạnh của gấp lần số các tam giác có đỉnh là đỉnh của và có đúng cạnh là cạnh của Khẳng định nào sau đây đúng? Có 12 tay đua xe đạp cùng xuất phát trong một cuộc đua để chọn ra 3 người về đích đầu tiên. Số kết quả có thể xảy ra là Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm. The last time I went to the museum was a year ago. Phương án nào sau đây không đúng Việc phát triển, nâng cao đời sống các dân tộc phải đi đôi việc bảo vệ môi trường tự nhiên và tài nguyên thiên nhiên của vùng Trung du miền núi Bắc Bộ vì Dựa vào Atlat Địa lí Việt Nam – Tr 18, giá trị sản xuất nông nghiệp của nước ta năm 2007 là Nơi thuận lợi cho nuôi trồng thủy sản nước lợ ở Miền Trung là Căn cứ vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 30, biểu đồ GDP của các vùng kinh tế trọng điểm so với cả nước năm 2005-2007. Hãy cho biết nhận xét nào sau đây chính xác? Cho hàm số \[f\left x \right\] có đồ thị như hình vẽ bên dưới, biết hàm số $f\left x \right$ đạt cực trị tại đúng hai điểm $x=b,\,\text{ }x=d$ và đồ thị cắt trục hoành tại đúng ba điểm phân biệt có hoành độ $x=a,\text{ }x=c,\text{ }x=e$. Hàm số \[f\left x \right\] đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? Khó khăn chủ yếu đối với sản xuất lương thực ở nước ta không phải do Giá trị lớn nhất của hàm số $y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1$ trên đoạn $\left[ -\frac{1}{2}\,;\,1 \right]$.. Căn cứ vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 19, hãy cho biết 4 tỉnh nào có diện tích trồng cây công nghiệp lâu năm lớn nhất nước ta? Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{3 - x} $. Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton Niu-tơn, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Tổ hợp và Xác PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN + Áp dụng khai triển ${a + b^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}.$ + Xác định số hạng tổng quát $C_n^k{a^{n – k}}{b^k}$, suy ra hệ số tổng quát là một dãy số theo ${a_k}.$ + Xét tính tăng giảm của ${a_k}$ từ đó tìm $k$ tương ứng. + Suy ra hệ số lớn nhất trong khai BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Cho khai triển ${1 + 2x^n}$ $ = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}$, trong đó $n \in {N^*}$ và các hệ số ${a_0}$, ${a_1}$, …, ${a_n}$ thỏa mãn ${a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.$ Tìm số lớn nhất trong các số ${a_0}$, ${a_1}$, …, ${a_n}.$Lời giải Ta có ${1 + 2x^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {2^k}{x^k}.$ Chọn $x = \frac{1}{2}$, ta được $\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} = {2^n}.$ Suy ra ${a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} $ $ \Leftrightarrow {2^n} = 4096$ $ \Leftrightarrow n = 12.$ Xét số tổng quát trong khai triển là ${a_k} = C_{12}^k{2^k}.$ Xét dãy số ${a_k} = C_{12}^k{.2^k}$, ta có ${a_{k + 1}} = C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.$ Xét ${a_k} – {a_{k + 1}} > 0$ $ \Leftrightarrow C_{12}^k{.2^k} – C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}} > 0.$ $ \Leftrightarrow \frac{{12!{2^k}}}{{k!12 – k!}} – \frac{{12!{2^{k + 1}}}}{{k + 1!11 – k!}} > 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{12!{2^k}}}{{k!11 – k!}}\left {\frac{1}{{12 – k}} – \frac{2}{{k + 1}}} \right > 0.$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{12 – k}} – \frac{2}{{k + 1}} > 0$ $ \Leftrightarrow 3k – 23 > 0$ $ \Leftrightarrow k > \frac{{23}}{3} \approx 7,7.$ Do đó ${a_8} > {a_9} > \ldots > {a_{12}}.$ Tương tự ${a_k} – {a_{k + 1}} {a_7} > \ldots > {a_0}.$ Vậy $\max \left {{a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}} \right = {a_8}$ $ = C_{12}^8{2^8} = 126720.$Bài 2 Tìm $k \in \{ 0;1;2; \ldots ;2005\} $ sao cho $C_{2005}^k$ đạt giá trị lớn giải Ta có $C_{2005}^k$ lớn nhất $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {C_{2005}^k \ge C_{2005}^{k + 1}}\\ {C_{2005}^k \ge C_{2005}^{k – 1}} \end{array}} \right.$ $\forall k \in \{ 0;1;2; \ldots ;2005\} .$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{2005!}}{{k!2005 – k!}} \ge \frac{{2005!}}{{k + 1!2004 – k!}}}\\ {\frac{{2005!}}{{k!2005 – k!}} \ge \frac{{2005!}}{{k – 1!2006 – k!}}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{{2005 – k}} \ge \frac{1}{{k + 1}}}\\ {\frac{1}{k} \ge \frac{1}{{2006 – k}}} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k + 1 \ge 2005 – k}\\ {2006 – k \ge k} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \ge 1002}\\ {k \le 1003} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 1002 \le k \le 1003.$ Vậy $C_{2005}^k$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 1002}\\ {k = 1003} \end{array}} \right..$Bài 3 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của ${\left {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left {\frac{1}{3}} \right^{15 – k}}\left {\frac{2}{3}} \right{x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} \frac{{{2^k}}}{{{3^{15}}}}{x^k}.$ Gọi ${a_k}$ là hệ số của ${x^k}$ trong khai triển, với $k = \overline {0..15} .$ Xét dãy số ${a_k} = \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{2^k}.$ Ta có ${a_{k + 1}} = \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^{k + 1}{.2^{k + 1}}.$ Suy ra ${a_k} {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k > \frac{{29}}{3}.$ Suy ra ${a_{10}} > {a_{11}} > {a_{12}} > \ldots > {a_{15}}.$ Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển trên là ${a_{10}} = \frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}C_{15}^{10} = 3003.\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$Bài 4 Trong khai triển của ${\left {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right^{10}}$ thành đa thức ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{10}}{x^{10}}$ $\left {{a_k} \in R} \right.$ Tìm hệ số ${a_k}$ lớn nhất $0 \le k \le 10.$Lời giải Ta có ${a_{k – 1}} \le {a_k}$ $ \Leftrightarrow C_{10}^{k – 1}{.2^{k – 1}} \le C_{10}^k{.2^k}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{k – 1!11 – k!}} \le \frac{2}{{k!10 – k!}}.$ $ \Leftrightarrow k \le 211 – k$ $ \Leftrightarrow k \le \frac{{22}}{3}.$ Vậy hệ số ${a_7}$ là lớn nhất ${a_7} = \frac{1}{{{3^{10}}}}.C_{10}^7{.2^7}.$Bài 5 Cho $n$ là số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng $C_n^k$ lớn nhất nếu $k$ là một số tự nhiên lớn nhất không vượt quá $\frac{{n + 1}}{2}.$Lời giải Ta có $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!n – k!}}$ và $C_n^{k – 1} = \frac{{n!}}{{k – 1!n – k + 1!}}$ $ \Rightarrow \frac{{C_n^k}}{{C_n^{k – 1}}} = \frac{{n – k + 1}}{k}.$ Do đó $C_n^k > C_n^{k – 1}$ $ \Leftrightarrow \frac{{n – k + 1}}{k} > 1$ $ \Leftrightarrow k {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k > \frac{{23}}{3}$ suy ra ${a_8} > {a_9} > {a_{10}} > {a_{11}} > {a_{12}}.$ Vậy với mọi $k = \overline {1..12} $, ${a_k} \le {a_8}.$ Vậy $\max \left {{a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{12}}} \right = {a_8}$ $ = C_{12}^8{.2^8} = 126720.$Bài 7 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển ${3 + 2x^8}.$Lời giải Ta có ${3 + 2x^8}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} {3^{8 – k}}{2^k}{x^k}.$ Hệ số tổng quát trong khai triển là ${a_k} = C_8^k{3^{8 – k}}{2^k}.$ Xét dãy số ${a_k} = C_8^k{3^{8 – k}}{2^k}$, $k = \overline {0..8} .$ Ta có ${a_{k + 1}} = C_8^{k + 1}{3^{7 – k}}{2^{k + 1}}.$ Xét ${a_k} – {a_{k + 1}} > 0$ $ \Leftrightarrow C_8^k{3^{8 – k}}{2^k} – C_8^{k + 1}{3^{7 – k}}{2^{k + 1}} > 0.$ $ \Leftrightarrow {3^{7 – k}}{2^k}\left {3C_8^k – 2C_8^{k + 1}} \right > 0$ $ \Leftrightarrow 3.\frac{{8!}}{{k!8 – k!}} – 2.\frac{{8!}}{{k + 1!7 – k!}} > 0.$ $ \Leftrightarrow \frac{{8!}}{{k!7 – k!}}\left {\frac{3}{{8 – k}} – \frac{2}{{k + 1}}} \right > 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{3k – 3 – 16 + 2k}}{{8 – kk + 1}} > 0$ $ \Leftrightarrow k > \frac{{19}}{5}.$ Suy ra ${a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7} > {a_8}.$ Ngược lại ${a_k} – {a_{k + 1}} {a_3} > {a_2} > {a_1} > {a_0}.$ Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là ${a_4} = C_8^4{3^4}{2^4} = 90720.$Bài 8 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của ${2 + 3x^{2n}}$, trong đó $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}$ $ = 1024.$Lời giải Xét khai triển ${1 + x^{2n + 1}}$ $ = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x$ $ + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.$ Chọn $x= 1$, ta được $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}$ $*.$ Chọn $x = – 1$, ta được $C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 – C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots – C_{2n + 1}^{2n + 1} = 0.$ Từ $*$ suy ra $2\left {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right$ $ = {2^{2n + 1}}.$ $ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n}}.$ Theo giả thiết ta có ${2^{2n}} = 1024 = {2^{10}}$ $ \Leftrightarrow n = 5.$ Từ đó suy ra ${2 + 3x^{2n}}$ $ = {2 + 3x^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{3x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{3^k}} .C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^k}.$ Xét dãy số ${a_k} = {3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}$, $k = \overline {0..10} .$ Ta có ${a_{k + 1}} = {3^{k + 1}}.C_{10}^{k + 1}{2^{9 – k}}.$ Ta có ${a_k} > {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow {a_k} – {a_{k + 1}} > 0$ $ \Leftrightarrow {3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}} – {3^{k + 1}}.C_{10}^{k + 1}{2^{9 – k}} > 0.$ $ \Leftrightarrow {3^k}{2^{9 – k}}\left {2C_{10}^k – 3C_{10}^{k + 1}} \right > 0$ $ \Leftrightarrow 2.\frac{{10!}}{{k!10 – k!}} – 3.\frac{{10!}}{{k + 1!9 – k!}} > 0.$ $ \Leftrightarrow \frac{{10!}}{{k!9 – k!}}\left {\frac{2}{{10 – k}} – \frac{3}{{k + 1}}} \right > 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{10!}}{{k!9 – k!}}\left {\frac{{5k – 28}}{{10 – kk + 1}}} \right > 0$ $ \Leftrightarrow k > \frac{{28}}{5}.$ Suy ra ${a_6} > {a_7} > \ldots > {a_{10}}.$ Ngược lại ${a_k} {a_7} > … > {a_{10}}.$ Ngược lại ${a_k} {a_5} > … > {a_0}.$ Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là ${a_6} = {3^6}.C_{16}^6{2^4} = 2449440.$Bài 9 Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển ${1 + x^n}$, biết rằng tổng các hệ số bằng $4096.$Lời giải Xét khai triển ${1 + x^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^k}.$ Chọn $x = 1$, ta được $\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} = {2^n}.$ Theo giả thiết ta có ${2^n} = 4096$ $ \Leftrightarrow n = 12.$ Suy ra ${1 + x^n}$ $ = {1 + x^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^k}.$ Xét dãy số ${a_k} = C_{12}^k.$ Ta có ${a_k} \ge {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow C_{12}^k \ge C_{12}^{k + 1}$ $ \Leftrightarrow \frac{{12!}}{{k!12 – k!}} \ge \frac{{12!}}{{k + 1!11 – k!}}.$ $ \Leftrightarrow \frac{{12!}}{{k!12 – k11 – k!}} \ge \frac{{12!}}{{k + 1k!11 – k!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{12 – k}} \ge \frac{1}{{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k \ge \frac{{13}}{2}.$ Suy ra ${a_7} \ge {a_8} \ge \ldots \ge {a_{12}}.$ Ngược lại ${a_k} \le {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k \le \frac{{13}}{2}.$ Suy ra ${a_7} \ge {a_6} \ge \ldots \ge {a_0}.$ Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là ${a_7} = C_{12}^7 = 792.$

tìm hệ số lớn nhất trong khai triển